Um die beschriebene Methode auf mechanische Probleme anwenden zu können, muss man mit ihr die Newtonsche Gleichung, also ein DGL 2.Ordnung, lösen können. Hierzu sollte man sich zunächst an den grundlegenden mathematischen Satz über DGLen höherer Ordnung erinnern: 

Jede DGL n-ter Ordnung 
y⁽ⁿ⁾ = f ( y^(n-1) , y^(n-2) , ... y', x, t ) 
lässt sich durch die Einführung der neuen Funktionen
y₁ = y, y₂ = y', ... y_n = y^(n-1)
in ein System von DGLen 1.Ordnung umformen: 

y₁' = y₂,
y₂' = y₃,
.
.
y_n-1 ' = y_n,
y_n' = f (y_n, y _n-1,...y₃,y₂,y₁,x,t).

Man beachte, dass es sich bei diesem Satz nicht um etwas tiefliegend Mathematisches, sondern um eine reine Umbenennung von Funktionen handelt: Die Ableitungen bekommen einfach neue Namen! Das ist für uns nichts Neues, denn die erste Ableitung s'(t) nennen wir ja schon v(t). Der obige Satz bedeutet also für die Lösung der Newtonschen Gleichung: 

Die DGL 2.Ordnung m s''(t) = F (s,s',t) ("Newtonsche Gleichung") lässt sich durch die Einführung der neuen Funktion v = s'(t) in zwei DGLen 1.Ordnung umwandeln, nämlich: 

s'(t) = v(t)
m v'(t) = F(s(t),v(t),t) . 

Die erste Gleichung ist also nur die Definition der Geschwindigkeit und die zweite Gleichung enthält die Dynamik. 

Schreiben wir beide Gleichungen für endliche Schrittweite um, so ergibt sich: 

Ds = v Dt,
Dv = f(s,v,t) Dt .

Zur Lösung eines solchen Gleichungssystems gehen wir wieder in einem (s|v)- Koordinatensystem von einem Anfangszustand (s₀|v₀) zur Zeit t₀ aus und berechnen mit Hilfe der beiden Gleichungen den nächsten Punkt (s₁|v₁) zur Zeit t₁. 

Das Verfahren soll an zwei einfachen System demonstriert werden: 
 
 

Gleichförmig beschleunigte Bewegung 

Da die Ergebnisse für diesen Fall als bekannt vorausgesetzt werden, kann die Behandlung zur Überprüfung des Verfahrens dienen. 

Das DGL-System lautet hier: 

Ds / Dt = v, Dv / D t = konstant 

Das Pfeildiagramm wird mit den MATHEMATICA-Befehlen 

erstellt:
 
 

Die Pfeile haben also wie angedeutet eine konstante v-Komponente und eine s-Komponente ~ v. Die Lösungen des DGL-Systems sind die Parabelscharen

, die sich aus und ergeben.

Die Parabeln reichen für großes t beliebige Werte von s und v. 

Dies ist im folgenden Beispiel anders: 

Freier Fall mit Luftwiderstand 

Der Luftwiderstand kann im einfachsten Fall (turbulente Strömung) durch eine der Bewegung entgegengesetzte Beschleunigung ~ v² beschrieben werden: 

Ds / Dt = v, 
Dv / Dt = g - c v² . 
 

Während die s-Komponente der Pfeile wieder konstant ist, nimmt die v-Komponente positive oder negative Werte an, je nachdem v kleiner oder größer als (g/c)^1/2 ist. Die Lösungskurven nähern sich folglich ganz unabhängig von den Anfangswerten der Geraden
v = (g/c)^1/2 an. Diese Gerade ist ein Beispiel für ein Gebilde, das wir weiter unten einen „Attraktor" nennen werden und das bei den chaotischen Systemen eine wichtige Rolle spielt. 

Inhalt

Eine zeitabhängige Differentialgleichung 1. Ordnung 

Phasenraum und Phasenbahn