von:
Dr. Joachim Bolz
Paul-Klee-Gymnasium
51491 Overath
Die totale Mondfinsternis vom 9. Januar 2001 gab wieder
einmal die Gelegenheit, die Finsternisphasen zu verfolgen und zu fotografieren.
Neben der Mondparallaxe ist die Auswertung einer solchen Beobachtung die
zweite einfache Methode zur Bestimmung des Monddurchmessers und der Mondentfernung.
Die Idee ist anders als bei der Parallaxe: Bei einer
Mondfinsternis beobachtet man gleichzeitig den Mond und den Erdschatten.
Bei bekannter Größe der Erde liefert der Schatten sozusagen
einen Maßstab am Himmel, mithilfe dessen man den Monddurchmesser
ablesen kann. Daraus folgt dann mit dem bekannten Sehwinkel des Mondes
von 0,50° sein Abstand. Dabei muss natürlich berücksichtigt
werden, dass der Erdschatten mit wachsender Entfernung kleiner wird. Hierzu
benötigt man ebenfalls nur einen scheinbaren Durchmesser, nämlich
den Winkeldurchmesser der Sonne, der bei der hier zu erzielenden Genauigkeit
ebenfalls mit 0,50° angesetzt werden kann.
mond20_11.jpg
Quelle: VdS: http://www.vds-astro.de/.
Weitere Aufnahmen von Mondfinsternissen findet man bei Fred Espenak von
der NASA: http://www.mreclipse.com/LEphoto/LEgallery1.html.
Die Eclipse-Seite von Espenak (http://sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/eclipse.html)
ist übrigends die erste Adresse für alle Informationen
über vergangene und zukünftige Finsternisse.
Zur Auswertung bestimmt man z.B. aus der obigen Aufnahme zeichnerisch möglichst genau den Mondradius und den Radius des Erdschattens. Insbesondere der Schattenradius lässt sich nur genau bestimmen, wenn die Schattengrenze stark genug belichtet wurde. Nach geeignetem Vergrößern und Kopieren auf ein Arbeitsblatt habe ich die Radien von meinem Kurs bestimmen lassen und dann aus den recht stark streuenden Werten Mittelwerte und Standardabweichungen bestimmt. Es ergab sich
rM = (1,74 ± 0,03)cm; rS = (3,85 ± 0,19)cm, s = rM / rS = 0,452 ± 0,031 (Größtfehler).
Sicher lassen sich aus besseren Aufnahmen wesentlich genauere Werte ermitteln.
Auswertung:
1. Methode
Die erste Methode zur Auswertung verzichtet weitgehend auf das Lösen von Gleichungen und verwendet nur elementare Rechnungen:
Wäre die Sonne unendlich weit entfernt und punktförmig, dann wäre der Radius des Erdschattens RS überall gleich dem Erdradius RE. Für den Mondradius ergäbe sich dann in erster Näherung
RM = s × RS = s × RE = s × 6371km = 2880km
und für die Mondentfernung
dM = 2 rM / 0,50° = 660000km (° = 1 Grad = p/180).
Nun muss berücksichtigt werden, dass sich der Erdschatten
kegelförmig verjüngt.
Die Lage der Spitze dieses Schattenkegels läßt
sich leicht ermitteln: Der Schatten endet dort, wo die Erde am Himmel genauso
groß erscheint wie die Sonne, also dort, wo die Erde unter
einem Sehwinkel von a = 0,50° erscheint. Damit wird
ds = 2 RE /0,5° = 1460100km.
Der wahre Radius des Erdschattens im oben berechneten Abstand dm ist daher
RS = RE × (dS - dM)/dS = 3491km.
In nächster Näherung ist dann der Mondradius
RM = s × RS = 0,452 × 3491km = 1578km.
Dieses Verfahren kann man fortsetzen. Mit dem neuen Monddurchmesser berechnet man eine neuen Mondentfernung, damit wieder einen neuen Schattendurchmesser usw., bis Konvergenz erreicht ist.
Der Excel-file mofi.xls demonstriert das Verfahren. Man erhält schließlich
rM = 1983km und dM
= 454000km .
2. Methode
Natürlich läßt sich das Problem auch exakt behandeln:
Der Mondradius ist
RM = s × RS.
Für den Schattendurchmesser im Abstand dM gilt
RS = RE × (dS - dM)/dS = RE × (1 - dM/dS), also
RM = s × RE × (1 - dM/dS).
Andererseits hängen Mondradius und Mondentfernung mit dem Sehwinkel des Mondes (a = 0,50° ) zusammen:
2 RM / dM = a.
Genauso hängen Erdradius und die Länge des Schattenkegels mit dem Sehwinkel der Sonne (ebenfalls a = 0,50°) zusammen:
2 RE / dS = a. Also gilt:
dM/dS = RM / RE .
Einsetzen liefert
RM = s × RE × (1- RM / RE ).
Nach RM aufgelöst:
RM = RE × s /(1+s).
Mit s = 0,452 ± 0,031 ergibt sich
RM = (1983 ± 92) km und der Mondabstand
dM = (454000 ± 20000) km.
Die exakten Wert sind bekanntlich
RM = 1738km und dM = 383000km.